| Главная » Файлы » Рефераты |
Ықтималдық ілімнің негізгі ұғымдары , теоремалары және дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары
|
Еще больше материалов по этой теме можно найти здесь » [Математика] |
31.01.2012, 18:06 |
| Ықтималдық ілімнің негізгі ұғымдары , теоремалары және дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары Ықтималдық теориясының негізгі мақсаты – біртекті кездейсоқ оқиғалардың жалпы ықтималдық заңдылықтарын зерттеу болып табылады. Оқиғалар: ақиқатты, мүмкін емес және кездейсоқ болып бөлінеді. Кездейсоқ оқиғалар дегеніміз кейбір жағдайларға байланысты сынау кезінде оқиғалардың пайда болуы не болмау мүмкін оқиғаларды айтамыз. Кездейсоқ оқиғалар: үйлесімсіз, бір ғана мүмкіндікті, тең-мүмкіндікті болып бөлінеді. Оқиғалар үйлесімсіз деп аталады, егер бір сонау кезінде оқиғаның пайда болуы оқиғалар бір-бірін шығару орын алатын болса. Бір ғана мүмкіндікті оқиғалар – егер оқиғалардың пайда болуы сынаудың нәтижесінде тек қана бір оқиғаның пайда болуы ақиқаты оқиға болып саналуын айтамыз. Мүмкіндіктегі бірдей оқиғалар – оқиғалардың пайда болуы басқа оқиғалардың пайда болу мүмкіндігінен аспайтын оқиғаларды айтады. Оқиғаларды А, В және С т.с.с. ретінде белгілейді. Мысалы, мерген нысананы мылтықпен атады. Нысана үш бөліктен тұрады. Оқиғалар: “мерген бірінші аймаққка тигізді”, “мерген екінші аймаққка тигізді”, “мерген үшінші аймаққка тигізді”, “мерген нысанаға тигізе алмады”. Бір-бірімен үйлесімсіз, бір ретті мүмкіндікті, мүмкіндігі тең емес саналады. Оқиғаның пайда болуының сандық мәнін ықтимал деген ұғым сипаттайды. Анықтама (классикалық ықтималдық): А оқиғасының ықтималдығы үшін барлық қолайлы оқиғаның нәтижесінің санынының (m), барлық элементтер оқиғалардың n-санының қатынасымен анықталады. Р(А)= (1) шамасын алады. Ықтималдықтың анықтамасы бойынша: 1) Оқиғаның ақиқаттығының ықтималдығы 1-ге тең Р(А)=1. 2) Оқиғаның орындалмайтындығының ықтималдығы Р(В)=С нөлге тең. 3) Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы – оң сан болады, ал сан мәні нөл мен 1-дің аралығында 0<Р(х)<1. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Теорема. Екі немесе бірнеше оқиғалардың біреуінің немесе бірнешеуінің пайда болуының ықтималдығы әр оқиғаның ықтималдықтарының алгебралық қосындысына тең: Бір-біріне байланыссыз толық группалар құрайтын оқиғалардың ықтималдығы 1-ге тең. Р(А+В+С+…)=Р(А)+Р(В)+Р(С)+…=1. Қарама – қарсы оқиғалар, мысалы, А-ға қарама – қарсы оқиға деп белгілейді. Егер Р(А)=Р болса, онда Р( )=1-р=q. Р(А немесе ) =Р(А)+Р( )=р+q=1. Мысалдар: А) “ашықкүн”, “күн бұлынғыр” яғни жаңбырлы күн. Б) “нысанаға дәл тию”, “нысанаға тимеу”, яғни қалт кету, т.с.с. 1-теорема. Бір-бірінен байланысты емес оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту: бір-біріне байланыссыз оқиғалардың екеуінің немесе бірнешеуінің бірдей пайда болуының ықтималдығы: Р(және А, және В)=Р(А)•Р(В), Р(и А1, и А2,…и АП)=Р(А1)•Р(А2)•Р(АП). 2 теорема. Бір-біріне байланысты оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту: бір-біріне байланысты оқиғалардың біреуі немесе бірнешеуі орындалдының ықтималдығы біреуінің ықтималдығын бірінші оқиға орындалуы деп Рв(А) екіншісінің ықтималдығының көбейтіндісіне тең, яғни Р (и А1 и В)=Р(А)•Ра(В), Р(и А1, и А2, …и Ап)=Р(А1)•Ра1(А2)•… •Р а1…п-1 (Ап). А оқиғаларының: А1… Ап-ең болмағанда біреуінің орындалуының оқиғалары және В оқиғаларының - орындалмайды дегеннің оқиғалары, яғни Р(А)+Р(В)=1, немесе Р(А)+Р( )=1, Р(А)=1-Р( )=1, Р()•Р()•…•Р( )=1-g1…gп .Если Р( )=Р( )=…=Р( )=р, то Р(А)= 1-gп . Толық ықтималдықтың формуласы. Оқиғалардың толық тобын құрайтын бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың біреуі А оқиғасынан орындалатын болса. Онда А оқиғасының ықтималдығы: формуласымен анықталады, мұнда Р(В1А),... бір-бірімен үйлеспейтін оқиғалардың ықтималдығы теңдеулермен анықталады. Байланыссыз қайталанатын сынау Егер А оқиғасының ықтималдығы әр сынаудың нәтижесінде байланыссыз болса, онда ондай сынауларды А оқиғасына қарағандығы бір-бірімен байланыссыз сынаулар деп атаймыз. Есептің шарты: n байланыссыз сынаудың нәтижесінде А оқиғасы m рет пайда болады дегеннің ықтималдығын табу керек, егер әр сынауда осы оқиға белгіленген ықтималдықпен Р(А)=р, (Р( )=1-р-q) пайда болады десек. Енді Бернулли формуласымен қолданамыз: n сынау кезінде А оқиғасының n рет пайда болуы немесе 0, немесе 1, немесе 2,... толық оқиғасының қатарын құрайды, яғни . Бұл ықтималдықтың биномальдық орналасуы деп аталады, өйткені (q+p)n - биномының мүшелерімен сәйкес келеді. Муавр-Лаплас теоремасы. Егер сынау саны өте көп болғанда байланыссыз п сынаулардың А оқиғасының m рет пайда болуының ықтималдығы жуықтан теңдеуімен анықталады. Ескерту: φ(х)-мәні таблица бойынша анықталады. Кейбір есептерде оқиғаның белгілі бір шектер аралығындағы ықтималдығын табу керек. Ықтималдықтың қосу теоремасы бойынша түрінде есептеледі. Мұндай жағдайда Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы: егер сынау саны көп болса, онда байланыссыз п сынау кезінде А оқиғасы m1 және m2 аралығында орындалатындағының ықтималдығы жуықтан:теңдеулерімен есептелінеді. Егер А оқиғасының орындалатындығы m1=np-r, және m2=np+r аралығында болса, онда:яғни (5) формула бойынша оқиғаның жиілігімен ықтималдығының (р) айырымының (ауытқуының) абсолют мәні п байланыссыз сынауларда өте аз оң шамадан (ε) аспайды дегеннің ықтималдығы қандай: . Кездейсоқ шамалар Сынаудың нәтижесінде, алдын ала белгісіз немесе алдын ала болжауға келмейтін кездейсоқ жағдайларға байланысты бірақ мәнге сәйкес келетін шаманы – кездейсоқ шама деп атаймыз. Мысалы: 1) 1,2,3,...100 жаңа туған бұзаулардың ішінде ауру бұзаудың болуы; 2) сабаққа қатысып отырған студенттердің саны; 3) адамның өмір сүруінің мерзімін ұзақтығы; 4) малдың (қойдың, сиырдың) температурасын өлшеген кезде жіберетін қателер т.с. с. Кездейсоқ шамаларды X, Y, Z деп белгілейміз, ал мәндерді – x, y, z деп белгілейміз. Кездейсоқ шамалар дискретті (үзілісті) және үзіліссіз шамалар болып бөлінеді. Дискретті деп белгілі бір мәнге ие болатын және берілген ықтималдығымен анықталатын шаманы айтады. Сан мүмкіндігі шекті және шексіз болуы мүмкін. Мысалы, кітаптің бір бетіндегі әріптің сандары, атомдағы электрондардың энергиясы, бидайдың масағындағы дәндердің саны, т.с.с. Үздіксіз кездейсоқ шама деп белгілі бір шекті және шексіз сан мәндері бар шамалардың мәндеріне сәйкес келетін шамаларды айтамыз. Кездейсоқ үздіксіз шаманың саны шексіз болуы мүмкін. Мысалы, бидайдың масағындағы дәндердің массасы, мал қораларындағы температураның белгілі бір уақыт аралығындағы мәні, т.с.с. Егер дискретті кездейсоқ шаманың орналасуы берілген болса Х және Р. х х1 х2 х3 … хп р р1 р2 р3 … рп Яғни Р=Р1+ Р2+...=. Ықтималдың ең үлкен сан мәні 1-ге тең болады, немесе нормалдаудың келісімдік шарты болып сапалады. Дискретті кездейсоқ шамалардың орналасуын график жүзінде яғни көпжақтар арқылы сипаттауға болады. Кейде кездейсоқ шаманың орналасу заңдылығы белгісіз болғанда кездейсоқ шаманы сан мәндері арқылы сипаттауға болады, яғни ондай сандарды кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы деп атаймыз. Мысалы: математикалық күту , дисперсия , орта квадраттық ауытқу . Математикалық күту. Кездейсоқ шаманың мәнін сол мәннің ықтималдығына көбейтіндісінің Алгебралық қосындысын кездейсоқ шаманың математикалық күтуі деп атаймыз. Математикалық күтудің қасиеттері. 1) М(С)=С. Тұрақты санның математикалық күтуі тұрақты санға тең болады. 2) М(Сх)=С•М(х). Тұрақты сан М.К. алдына шығарып жазуға болады. 3) М(ху)=М(х)•М(у), М(х1•х2• …•хп)=М(х1)•М(х2)•…•М(хп). 4) М(х+у)=М(х)+М(у),М(х1+х2+…+хп)=М(х1)+М(х2)+…+М(хп). Дисперсия (шашырау, ыдырау, ауытқу). Кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп математикалық күтудің мәнімен кездейсоқ шаманың мәнінің (айырылдарының) орта квадраттың ауытқуын атаймыз. Д(х)=М[x-M(x)]2=[x-M(x)] 2. Немесе Д(х)=М(x)2-[M(x)]2. Дисперсияның қасиеттері. 1) Д(с)=0. Тұрақты санның дисперсиясы нөлге тең болады. 2) Д(сх)=с2 •Д(х). Тұрақты шаманың квадраты дисперсияның алдына шығарылып жазылады. Д(х+у)=Д(х)+Д(у), Д(х-у)= Д(х)+Д(у). Қосындының не айырымның дисперсиялардың алгедралық қосындысын тең болады. Салдар: Д(с+х)=Д(х). Тұрақты шама мен кездейсоқ шаманың қосындысын дисперсиясы кездейсоқ шаманың дисперсиясы мәніне тең болады. Айнымалы кездейсоқ шаманың дисперсиясынан квадрат түбір б(х)=√Д(х) кездейсоқ шаманың орта квадраттың ауытқуы деп аталады. Математикалық күту, дисперсия, орта квадраттық ауытқу төмендегідей теңдеулермен анықталады: М(х)=пр, Д(х)=п•р•q, б(х)= . елген белгілі бір мәнге ие болады дегеннің ықтималдығы нөльге тең болады. Дифференциалдық функцияның қасиеттері. 1) f(х)≥0 – дифференциалдық функция (д.ф) оң сан, 2) Егер кездейсоқ шаманың мәні (а,в) интервалында жатса, онда , ал егер Ох осінің бойымен орналасса, онда болғанда кездейсоқ шаманың осы интервалға түседі дегеннің ықтималдығы: . Осыдан f (х) – д.ф-н бөлсек, онда интегралдық функцияны F(х)-ті анықтауға болады: F(х)=. Үздіксіз кездейсоқ шамалардың сандық қасиеттері. 1) Математикалық күту: М(х)= , 2) Дисперсия: 3) Орта квадраттық ауытқу: [b] | |
| Просмотров: 16495 | Загрузок: 0 | | |
| Всего комментариев: 0 | |